谈到数学之美，不能不提到分形图形。

如果说有什么能够直接将数学与艺术联系起来，分形图形无疑就是答案。

在数学发展的历程中，很多新数学问题的提出和新数学领域的开辟，其最初动机并非是为了解释生活现象，而是源于数学本身的魅力。

几乎所有数学家都认为数学是美丽的。普通人如何感受数学之美？数学科普大师顾森在《思考的乐趣》一书中，从“生活中的数学”、“数学之美”、“几何的大厦”、“精妙的证明”和“思维的尺度”五个维度，用大量案例展示了数学的乐趣，吸引了众多读者。

这是一位热爱思考的年轻人积攒的让人一读就欲罢不能的趣味读物。《思考的乐趣》出版至今，已收到十余万读者的喜爱。

今天就挑选分形，这个最能代表数学之美的内容，与大家分享。

谈到数学之美，不能不提到分形图形。

如果说有什么能够直接将数学与艺术联系起来，分形图形无疑就是答案。

我们先来看一个简单的例子。先画一条线段，再将它平分成三段，去掉中间一段并用两条等长的线段代替。这样，原本的一条线段就变成了四条小线段。接着，用相同的方法将每条小线段中间的三分之一替换成小山丘，得到了16条更小的线段。然后继续对这16条线段进行类似操作，并无限循环下去。

图1展示了这个图形前五次的迭代过程，可以看到第五次迭代后图形变得相当复杂，我们已经无法看清它的所有细节了。

图1

你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每次都变成了原来的。

如果最初线段长度为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了。

第二次操作后总长度增加到。第

次操作后总长度为。

毫无疑问，如果操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。

难以置信的是，这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

现在，我们像图2那样，将三条这样的曲线首尾相接组成一个封闭图形。

这时，有趣的事情发生了，这个雪花状图形有着无限长的边界，但它的总面积却是有限的。

有人可能会问，为什么面积是有限的？虽然从图2可以明显看出结论，但我们还是要给出一个简单的证明。

三条曲线中每一条在第

次迭代前都有

条长为

的线段，迭代后多出的面积为

个边长为

的等边三角形。

将

扩大到

，再将所有边长为

的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数是收敛的。

很难相信，这块有限的面积竟然是用无限长的曲线围成的。

图2

这让我们开始质疑“周长”的概念：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是6.28厘米吗？用放大镜观察，我们会发现纸片边缘并不平整，上面充满了小锯齿。再用显微镜观察，说不定每个小锯齿上也长有很多小锯齿。